Related to a similar sequence, here the grasshopper wants to optimize his jumps instead.
The grasshopper jumping sequences
We are given $n\in\mathbb N$ stones $s\in\{0,1,2,\dots,n-1\}$, arranged in a circle.
The grasshopper starts by jumping on stone $s(0)=0$ (the zeroth jump).
On the $k$th jump, he can either jump clockwise or anticlockwise, by moving $k$ stones:
$$s(k)=\begin{cases} (s(k-1)+k)\pmod n \\ (s(k-1)-k)\pmod n \end{cases}$$
He wants to make a tour: visit every stone at least once.
A perfect tour would be, to visit every stone exactly once (perform exactly $n$ jumps).
The question is, given $n\in\mathbb N$, in how many ways can the grasshopper make the perfect tour?
Let $a(n)$ as the number of perfect tours the grasshopper can make, given $n\in\mathbb N$.
Denote counterclockwise and clockwise jumps with $L,R$ respectively.
Without loss of generality, we can assume he starts (after zeroth jump) with either clockwise $R$ jump or counterclockwise $L$ jump: $$s(1)=\begin{cases} 1 &, R\text{ jump} \\ -1\equiv n-1&, L\text{ jump} \end{cases}$$
Tours stemming from these two starting jumps, will be complements of each other (swap $L,R$ 's).
Hence, we can assume either case, and only count perfect tours that are possible from it. There will be $a_0(n)$ such perfect tours, and we can write $a(n)=2a_0(n)$. $-$ The only exception is $n=1$ which starts and ends with $k=0$ jump.
So from now on, assume $L$ is the $k=1$ jump when mentioning $a_0(n)$.
$(Q_0)$ Can we find a closed form for $a(n)=2a_0(n)$?
If not, can we find closed forms for some special cases of $n$?
Here is the data for $n=1,\dots,85$ (brute force computation results for each such $n$):
a(n) = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 6, 8, 2, 8, 6, 16, 2, 4, 6, 8, 4, 12, 6, 16, 4, 4, 4, 16, 2, 12, 10, 32, 4, 4, 8, 8, 2, 12, 6, 16, 2, 8, 6, 24, 6, 12, 8, 32, 6, 8, 6, 8, 2, 8, 10, 32, 4, 4, 6, 24, 2, 20, 6, 64, 6, 8, 8, 8, 4, 16, 6, 16, 2, 4, 8, 24, 14, 12, 6, 32, 2, 4, 6, 16, 8,...
Below are my conclusions and observations so far.
The trivial perfect tour (trivial jumping sequence)
We know that $a_0(n)\ge 1$ for all $n$.
The trivial solution is, to alternate $\{L,R\}$ jumps, which will trivially be a perfect tour.
That is, this gives the sequence: $ s(k)=0,-1,1,-2,2,-3,3\dots$ where $-s\equiv n-s$.
The powers of $2$
If $n=2^m$ is a power of two, then $a(n)=n=2^m$. $\space$Equivalently $a_0(n)=\frac{n}{2}=2^{m-1}$.
Example: $n=2^5=32$ has $a_0(32)=16$ such sequences: (Represent $L,R$ jumps with _,#)
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15. _#_#_#_#_#_#_#___#_#_#_#_#_#_#_
16. _#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_#_
The $\{L\}$ repeating (1. sequence above) is a perfect tour of $n$ $\iff$ $n$ is a power of two.
The last sequence (16.) is the trivial sequence that appears in every $n$.
In the above example, each row has $n-1$ characters, since we are not displaying $k=0$ jump.
Hard perfect tours
We say that $n$ is a hard (perfect) tour, if $a_0(n)=1$.
$(Q_1)$ For which numbers $n\in\mathbb N$, is only the trivial tour possible? ($n$ is a hard tour?)
The first couple such numbers $n$ are (checked with brute force):
2, 3, 5, 9, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 81,...
Is it possible to find sufficient and necessary conditions? (A closed form?)
So far, among first $85$ numbers, these are either primes of form $4m+1$, or $\in\{3,9,81\}$. (Beside the $n=2$ exception which is a part of the previous case of owers of two.)
Observations when $n$ is prime
$1.)$ If $n=p$ is prime and of form $4m+1$, then it seems $n$ has only the trivial tour (is a hard tour).
$2.)$ If $n=p$ is prime and of form $n=4m+3$, then:
$$0\underbrace{L\dots L}_{2m+1}\underbrace{R\dots R}_{2m+1}$$
Is a perfect tour, where $0$ stands for the zeroth jump onto $s(0)=0$.
No other numbers among first $85$ numbers have this perfect tour.
Out of the first $23$ primes among first $85$ computed numbers, the prime $31$ has most perfect tours, so far. That is, it has $a_0(31)=5$ perfect tours (it has $a(31)=10$ perfect tours in total):
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$(Q_2)$ Can we find all perfect tours, in the case when $n=p$ is prime? $a_0(p)=\dots$?
Perfect tours so far
For the $2,\dots,85$ numbers, here are all the perfect tours, where only $s(1)=-1$ are being listed, since the other half when $s(1)=1$ represents just the complements of the first half.
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_
3: 2
_#
4: 4
___
_#_
5: 2
_#_#
6: 4
_#_#_
_###_
7: 4
___###
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8: 8
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9: 2
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10: 4
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Every natural number is a product of a power of two and some odd number $q$, hence $n=2^mq$.
It appears that $a(n)=2^ma(q)$ holds. If we prove this, this reduces the problem to odd numbers.
Additionally, recall that $a(q)=2$ when $q$ is a prime of form $4m+1$ or a power of three $3^m$. If we can prove this pattern as well, this reduces the problem to primes of form $4m+3$ and odd composite numbers other than powers of three.
$(Q)$ Can we find (at least conjecture) closed forms $a(n)$ for some special families of numbers $n$?
For example, such as I did observe the cases of powers of $2^m,3^m$ and $p=4m+1$ primes.
