The translations are fine, except that you're missing an um (the "to" in "use X to Y"):
Ich habe einen Stift benutzt, um diesen Brief zu schreiben.
Kann ich diesen Stift benutzen, um einen Brief zu schreiben?
----> Below is Wolfgang's edit:
Bei dem Teil
..., um diesen Brief zu schreiben
handelt es sich um eine erweiterte Infinitivgruppe (wegen dem zu schreiben, was nur in erweiterten Infinitivgruppen vorkommt) was in diesem Beispiel als Kausalergänzung (Satzglied) fungiert. Ein um ... zu + Infinitiv ist auch eine sehr gebräuchliche Satzkonstruktion im Deutschen, um eine Kausalergänzung zu bilden.
Der Mörder versteckte die Mordwaffe, um die Polizei auf die falsche Fährte zu führen.
Der Mörder versteckte die Mordwaffe, um freizukommen. (freikommen ist hier der Infinitiv)
Auch kann man die Frage bilden und sich dabei die englischen Übersetzungen betrachten, damit es klarer wird.
Warum habe ich einen Stift benutzt? Ich habe einen Stift benutzt, um diesen Brief zu schreiben
Why did I use a pen? I used a pen because I wrote this letter. / I used a pen to write this letter.
Im Englischen wird die zweite Form wesentlich öfter verwendet als die erste. Im Deutschen gibt es eine solche Verkürzung und Weglassen von Bindewörtern und Präpositionen im korrekten Deutsch (außer vielleicht bei örtlichen Dialekten, die meist mit Migrationshintergrund gesprochen werden) nicht. Daher ist das Weglassen des um in diesem Fall auch ein schwerer grammatikalischer Fehler.