Native speakers seem to have no trouble interpreting a phrase of the form X or Y as a plural, which means the chosen relative pronoun is die and the verb in the relative clause is plural as well. Some examples from the DWDS corpus:
"Jede Klasse", bemerkt Schumpeter mit einer einleuchtenden Metapher, "gleicht während der Dauer ihres Kollektivlebens … einem Hotel oder einem Omnibus, die zwar immer besetzt sind, aber von immer anderen Leuten"
Der hatte ihm mittlerweile schon so etwas wie Frieden beschert, eine Linderung oder eine Lösung, die stärker waren als der Bann, den man über ihn verhängt.
Man sieht kaum einen Mann oder eine Frau, die nicht irgendein Hakenkreuzabzeichen tragen.
Soll durch eine Anzeige, einen Antrag oder eine Willenserklärung, die in fremder Sprache eingehen, zugunsten eines Beteiligten eine Frist gegenüber der Behörde gewahrt, ein öffentlich-rechtlicher Anspruch geltend gemacht oder eine Sozialleistung begehrt werden, gelten die Anzeige, der Antrag oder die Willenserklärung als zum Zeitpunkt des Eingangs bei der Behörde abgegeben
(Note that, in the last example, the main clause subject die Anzeige, der Antrag oder die Willenserklärung is itself interpreted as a plural, as the verb form gelten shows.)
So werden ein Arzt oder ein Anwalt, die sich in einer kleinen Stadt niederlassen, natürlich ihren daselbst seßhaften Kollegen einen Besuch abstatten.
wonach eine Organisation oder ein Individuum, die im Sinne des Gesetzes öffentlich als kommunistisch erklärt wurden und gegen diesen Vorwurf appellieren, nicht die Beweislast zu tragen haben
Ein Regenwurm oder ein Tintenfisch, die im Leben glatte Formen besitzen, sinken zusammen, wenn mit dem Tode die Muskeln erschlaffen
(In the three examples above, the phrase the relative clause is referring to is also the subject of the matrix clause, with the finite verb in the plural.)
Bei sehr rauhem Wetter wählt ein Mann oder eine Frau, die nicht gerade seefest sind, den besseren Teil der Tapferkeit und bleibt möglichst allein.
(This one is interesting in that the verb in the main clause is singular, yet the relative clause referring to the subject of the main clause shows plural.)