This paper of Hasse deals with finding prime $q$ such that $ord_qp$ is even for some (fixed) prime $p$. Can some one suggest an online copy of it ? Or any survey in which its main ideas are highlighted.
H. Hasse, Über die Dichte der Primzahlen p, für die eine vorgegebene ganzrationale Zahl $a \neq 0$ von gerader bzw.ungerader Ordnung mod. p ist, Math. Ann. 166 (1966), 19–23.