Prove that there exists infinitely many pairs of relatively prime integers $(a,b)$ such that both the quadratic equations $$x^2+ax+b=0$$ $$ x^2+2ax+b=0$$ has integer roots.
I tried the following:
$a^2-4b=n^2$ and $a^2-b=m^2$
Eliminating $b$ from both we get
$3a^2=(2m+n)(2m-n)$
from here we get that $3a^2$ should have two factors whose sum is divisible by $4$. From here we can get the $b$ but the problem is both numbers should be relatively prime.
You want $$ 3a^2 - 4 m^2 = -n^2. $$ Suppose you have a single such expression, $a=1,m=1,n=1,$ call it $(a,m) = (1,1).$ You get infinitely many such expressions, with the same fixed value of $m,$ by repeating the mapping $$ (a,m) \mapsto (7a+8m, 6a+7m). $$ So, we have $(a,m)$ pairs $$ (1, 1) $$ $$ (15, 13) $$ $$ (209, 181) $$ $$ (2911, 2521) $$ $$ (40545, 35113) $$
We also get separate recursions for the $(a,m)$ components, $$ a_{j+2} = 14 a_{j+1} - a_j, $$ $$ m_{j+2} = 14 m_{j+1} - m_j. $$ This is just the Cayley-Hamilton theorem. Similarly, the mapping preserves GCD, because $$ \left( \begin{array}{rr} 7 & 8 \\ 6 & 7 \end{array} \right) $$ is of integers and determinant $1,$ that is, its inverse is also of integer entries. Back to Cayley-Hamilton, what is the characteristic polynomial for this matrix?
Meanwhile, given integers $g,h,$ with $\gcd(g,h)=1.$ such that $g$ is not divisible by $3$ and one of $g,h$ is even and the other odd, we get a primitive solution with $$ n = -g^2 - 6gh+3h^2, $$ $$ a = g^2 - 2gh - 3h^2, $$ $$ m = g^2 + 3 h^2. $$
These may not be all solutions to $n^2 + 3 a^2 = 4 m^2,$ the method is tricky. You can take the absolute values of the numbers in any case. Solutions that may be different come from this sort of thing: take $g = 3 \gamma,$ now all $n,a,m$ are divisible by $3,$ just divide through by $3.$ The other variant is to take both $g,h$ odd, now all $n,a,m$ are even, just divide through by $2,$ or, if necessary, by $4.$
Sunday: maybe the best way to say it is this: the possible values are $$ \gcd(n,a,m) \in \{ 1, 3, 4, 12. \} $$ To get all triples, use the recipe above with $\gcd(g,h)=1$ but forget about my other restrictions, and divide through by the gcd. Oh, and use absolute value signs, although that will lead to a certain degree of repetition.
Below is what happens with actual numbers, lots of repetition:
m a n g h
1 a: 0 n: 2 gcd 12 g: 3 h: 1
1 a: 0 n: 2 gcd 4 g: 1 h: -1
1 a: 1 n: 1 gcd 12 g: 3 h: -1
1 a: 1 n: 1 gcd 1 g: 1 h: 0
1 a: 1 n: 1 gcd 3 g: 0 h: 1
1 a: 1 n: 1 gcd 3 g: 0 h: -1
1 a: 1 n: 1 gcd 4 g: 1 h: 1
7 a: 3 n: 13 gcd 12 g: 3 h: -5
7 a: 3 n: 13 gcd 1 g: 2 h: 1
7 a: 3 n: 13 gcd 3 g: 3 h: -2
7 a: 3 n: 13 gcd 4 g: 5 h: 1
7 a: 5 n: 11 gcd 12 g: 9 h: 1
7 a: 5 n: 11 gcd 1 g: 2 h: -1
7 a: 5 n: 11 gcd 3 g: 3 h: 2
7 a: 5 n: 11 gcd 4 g: 1 h: -3
7 a: 8 n: 2 gcd 12 g: 3 h: 5
7 a: 8 n: 2 gcd 12 g: 9 h: -1
7 a: 8 n: 2 gcd 4 g: 1 h: 3
7 a: 8 n: 2 gcd 4 g: 5 h: -1
13 a: 15 n: 1 gcd 12 g: 3 h: 7
13 a: 15 n: 1 gcd 1 g: 1 h: 2
13 a: 15 n: 1 gcd 3 g: 6 h: -1
13 a: 15 n: 1 gcd 4 g: 7 h: -1
13 a: 7 n: 23 gcd 12 g: 9 h: 5
13 a: 7 n: 23 gcd 1 g: 1 h: -2
13 a: 7 n: 23 gcd 3 g: 6 h: 1
13 a: 7 n: 23 gcd 4 g: 5 h: -3
13 a: 8 n: 22 gcd 12 g: 3 h: -7
13 a: 8 n: 22 gcd 12 g: 9 h: -5
13 a: 8 n: 22 gcd 4 g: 5 h: 3
13 a: 8 n: 22 gcd 4 g: 7 h: 1
19 a: 16 n: 26 gcd 12 g: 15 h: 1
19 a: 16 n: 26 gcd 12 g: 9 h: 7
19 a: 16 n: 26 gcd 4 g: 1 h: -5
19 a: 16 n: 26 gcd 4 g: 7 h: -3
19 a: 21 n: 11 gcd 12 g: 15 h: -1
19 a: 21 n: 11 gcd 1 g: 4 h: -1
19 a: 21 n: 11 gcd 3 g: 3 h: 4
19 a: 21 n: 11 gcd 4 g: 1 h: 5
19 a: 5 n: 37 gcd 12 g: 9 h: -7
19 a: 5 n: 37 gcd 1 g: 4 h: 1
19 a: 5 n: 37 gcd 3 g: 3 h: -4
19 a: 5 n: 37 gcd 4 g: 7 h: 3
31 a: 11 n: 59 gcd 12 g: 15 h: 7
31 a: 11 n: 59 gcd 1 g: 2 h: -3
31 a: 11 n: 59 gcd 3 g: 9 h: 2
31 a: 11 n: 59 gcd 4 g: 7 h: -5
31 a: 24 n: 46 gcd 12 g: 15 h: -7
31 a: 24 n: 46 gcd 12 g: 3 h: -11
31 a: 24 n: 46 gcd 4 g: 11 h: 1
31 a: 24 n: 46 gcd 4 g: 7 h: 5
31 a: 35 n: 13 gcd 12 g: 3 h: 11
31 a: 35 n: 13 gcd 1 g: 2 h: 3
31 a: 35 n: 13 gcd 3 g: 9 h: -2
31 a: 35 n: 13 gcd 4 g: 11 h: -1
37 a: 33 n: 47 gcd 12 g: 21 h: 1
37 a: 33 n: 47 gcd 1 g: 5 h: -2
37 a: 33 n: 47 gcd 3 g: 6 h: 5
37 a: 33 n: 47 gcd 4 g: 1 h: -7
37 a: 40 n: 26 gcd 12 g: 21 h: -1
37 a: 40 n: 26 gcd 12 g: 9 h: 11
37 a: 40 n: 26 gcd 4 g: 11 h: -3
37 a: 40 n: 26 gcd 4 g: 1 h: 7
37 a: 7 n: 73 gcd 12 g: 9 h: -11
37 a: 7 n: 73 gcd 1 g: 5 h: 2
37 a: 7 n: 73 gcd 3 g: 6 h: -5
37 a: 7 n: 73 gcd 4 g: 11 h: 3
43 a: 13 n: 83 gcd 12 g: 21 h: 5
43 a: 13 n: 83 gcd 1 g: 4 h: -3
43 a: 13 n: 83 gcd 3 g: 9 h: 4
43 a: 13 n: 83 gcd 4 g: 5 h: -7
43 a: 35 n: 61 gcd 12 g: 3 h: -13
43 a: 35 n: 61 gcd 1 g: 4 h: 3
43 a: 35 n: 61 gcd 3 g: 9 h: -4
43 a: 35 n: 61 gcd 4 g: 13 h: 1
43 a: 48 n: 22 gcd 12 g: 21 h: -5
43 a: 48 n: 22 gcd 12 g: 3 h: 13
43 a: 48 n: 22 gcd 4 g: 13 h: -1
43 a: 48 n: 22 gcd 4 g: 5 h: 7
49 a: 16 n: 94 gcd 12 g: 15 h: -11
49 a: 16 n: 94 gcd 12 g: 9 h: -13
49 a: 16 n: 94 gcd 4 g: 11 h: 5
49 a: 16 n: 94 gcd 4 g: 13 h: 3
49 a: 39 n: 71 gcd 12 g: 15 h: 11
49 a: 39 n: 71 gcd 1 g: 1 h: -4
49 a: 39 n: 71 gcd 3 g: 12 h: 1
49 a: 39 n: 71 gcd 4 g: 11 h: -5
49 a: 55 n: 23 gcd 12 g: 9 h: 13
49 a: 55 n: 23 gcd 1 g: 1 h: 4
49 a: 55 n: 23 gcd 3 g: 12 h: -1
49 a: 55 n: 23 gcd 4 g: 13 h: -3
61 a: 56 n: 74 gcd 12 g: 15 h: 13
61 a: 56 n: 74 gcd 12 g: 27 h: 1
61 a: 56 n: 74 gcd 4 g: 13 h: -5
61 a: 56 n: 74 gcd 4 g: 1 h: -9
61 a: 65 n: 47 gcd 12 g: 27 h: -1
61 a: 65 n: 47 gcd 1 g: 7 h: -2
61 a: 65 n: 47 gcd 3 g: 6 h: 7
61 a: 65 n: 47 gcd 4 g: 1 h: 9
61 a: 9 n: 121 gcd 12 g: 15 h: -13
61 a: 9 n: 121 gcd 1 g: 7 h: 2
61 a: 9 n: 121 gcd 3 g: 6 h: -7
61 a: 9 n: 121 gcd 4 g: 13 h: 5
67 a: 32 n: 122 gcd 12 g: 21 h: 11
67 a: 32 n: 122 gcd 12 g: 27 h: 5
67 a: 32 n: 122 gcd 4 g: 11 h: -7
67 a: 32 n: 122 gcd 4 g: 5 h: -9
67 a: 45 n: 109 gcd 12 g: 21 h: -11
67 a: 45 n: 109 gcd 1 g: 8 h: 1
67 a: 45 n: 109 gcd 3 g: 3 h: -8
67 a: 45 n: 109 gcd 4 g: 11 h: 7
67 a: 77 n: 13 gcd 12 g: 27 h: -5
67 a: 77 n: 13 gcd 1 g: 8 h: -1
67 a: 77 n: 13 gcd 3 g: 3 h: 8
67 a: 77 n: 13 gcd 4 g: 5 h: 9
73 a: 17 n: 143 gcd 12 g: 27 h: 7
73 a: 17 n: 143 gcd 1 g: 5 h: -4
73 a: 17 n: 143 gcd 3 g: 12 h: 5
73 a: 17 n: 143 gcd 4 g: 7 h: -9
73 a: 63 n: 97 gcd 12 g: 3 h: -17
73 a: 63 n: 97 gcd 1 g: 5 h: 4
73 a: 63 n: 97 gcd 3 g: 12 h: -5
73 a: 63 n: 97 gcd 4 g: 17 h: 1
73 a: 80 n: 46 gcd 12 g: 27 h: -7
73 a: 80 n: 46 gcd 12 g: 3 h: 17
73 a: 80 n: 46 gcd 4 g: 17 h: -1
73 a: 80 n: 46 gcd 4 g: 7 h: 9
79 a: 40 n: 142 gcd 12 g: 21 h: -13
79 a: 40 n: 142 gcd 12 g: 9 h: -17
79 a: 40 n: 142 gcd 4 g: 13 h: 7
79 a: 40 n: 142 gcd 4 g: 17 h: 3
79 a: 51 n: 131 gcd 12 g: 21 h: 13
79 a: 51 n: 131 gcd 1 g: 2 h: -5
79 a: 51 n: 131 gcd 3 g: 15 h: 2
79 a: 51 n: 131 gcd 4 g: 13 h: -7
79 a: 91 n: 11 gcd 12 g: 9 h: 17
79 a: 91 n: 11 gcd 1 g: 2 h: 5
79 a: 91 n: 11 gcd 3 g: 15 h: -2
79 a: 91 n: 11 gcd 4 g: 17 h: -3
91 a: 11 n: 181 gcd 12 g: 15 h: -17
91 a: 11 n: 181 gcd 1 g: 8 h: 3
91 a: 11 n: 181 gcd 3 g: 9 h: -8
91 a: 11 n: 181 gcd 4 g: 17 h: 5
91 a: 19 n: 179 gcd 12 g: 27 h: 11
91 a: 19 n: 179 gcd 1 g: 4 h: -5
91 a: 19 n: 179 gcd 3 g: 15 h: 4
91 a: 19 n: 179 gcd 4 g: 11 h: -9
91 a: 80 n: 118 gcd 12 g: 27 h: -11
91 a: 80 n: 118 gcd 12 g: 3 h: -19
91 a: 80 n: 118 gcd 4 g: 11 h: 9
91 a: 80 n: 118 gcd 4 g: 19 h: 1
91 a: 85 n: 107 gcd 12 g: 33 h: 1
91 a: 85 n: 107 gcd 1 g: 8 h: -3
91 a: 85 n: 107 gcd 3 g: 9 h: 8
91 a: 85 n: 107 gcd 4 g: 1 h: -11
91 a: 96 n: 74 gcd 12 g: 15 h: 17
91 a: 96 n: 74 gcd 12 g: 33 h: -1
91 a: 96 n: 74 gcd 4 g: 17 h: -5
91 a: 96 n: 74 gcd 4 g: 1 h: 11
91 a: 99 n: 61 gcd 12 g: 3 h: 19
91 a: 99 n: 61 gcd 1 g: 4 h: 5
91 a: 99 n: 61 gcd 3 g: 15 h: -4
91 a: 99 n: 61 gcd 4 g: 19 h: -1
97 a: 112 n: 2 gcd 12 g: 33 h: -5
97 a: 112 n: 2 gcd 12 g: 9 h: 19
97 a: 112 n: 2 gcd 4 g: 19 h: -3
97 a: 112 n: 2 gcd 4 g: 5 h: 11
97 a: 55 n: 169 gcd 12 g: 9 h: -19
97 a: 55 n: 169 gcd 1 g: 7 h: 4
97 a: 55 n: 169 gcd 3 g: 12 h: -7
97 a: 55 n: 169 gcd 4 g: 19 h: 3
97 a: 57 n: 167 gcd 12 g: 33 h: 5
97 a: 57 n: 167 gcd 1 g: 7 h: -4
97 a: 57 n: 167 gcd 3 g: 12 h: 7
97 a: 57 n: 167 gcd 4 g: 5 h: -11
103 a: 117 n: 37 gcd 12 g: 33 h: -7
103 a: 117 n: 37 gcd 1 g: 10 h: -1
103 a: 117 n: 37 gcd 3 g: 3 h: 10
103 a: 117 n: 37 gcd 4 g: 7 h: 11
103 a: 40 n: 194 gcd 12 g: 27 h: 13
103 a: 40 n: 194 gcd 12 g: 33 h: 7
103 a: 40 n: 194 gcd 4 g: 13 h: -9
103 a: 40 n: 194 gcd 4 g: 7 h: -11
103 a: 77 n: 157 gcd 12 g: 27 h: -13
103 a: 77 n: 157 gcd 1 g: 10 h: 1
103 a: 77 n: 157 gcd 3 g: 3 h: -10
103 a: 77 n: 157 gcd 4 g: 13 h: 9
109 a: 119 n: 71 gcd 12 g: 15 h: 19
109 a: 119 n: 71 gcd 1 g: 1 h: 6
109 a: 119 n: 71 gcd 3 g: 18 h: -1
109 a: 119 n: 71 gcd 4 g: 19 h: -5
109 a: 24 n: 214 gcd 12 g: 15 h: -19
109 a: 24 n: 214 gcd 12 g: 21 h: -17
109 a: 24 n: 214 gcd 4 g: 17 h: 7
109 a: 24 n: 214 gcd 4 g: 19 h: 5
109 a: 95 n: 143 gcd 12 g: 21 h: 17
109 a: 95 n: 143 gcd 1 g: 1 h: -6
109 a: 95 n: 143 gcd 3 g: 18 h: 1
109 a: 95 n: 143 gcd 4 g: 17 h: -7
127 a: 120 n: 146 gcd 12 g: 21 h: 19
127 a: 120 n: 146 gcd 12 g: 39 h: 1
127 a: 120 n: 146 gcd 4 g: 19 h: -7
127 a: 120 n: 146 gcd 4 g: 1 h: -13
127 a: 133 n: 107 gcd 12 g: 39 h: -1
127 a: 133 n: 107 gcd 1 g: 10 h: -3
127 a: 133 n: 107 gcd 3 g: 9 h: 10
127 a: 133 n: 107 gcd 4 g: 1 h: 13
127 a: 13 n: 253 gcd 12 g: 21 h: -19
127 a: 13 n: 253 gcd 1 g: 10 h: 3
127 a: 13 n: 253 gcd 3 g: 9 h: -10
127 a: 13 n: 253 gcd 4 g: 19 h: 7
133 a: 120 n: 166 gcd 12 g: 33 h: -13
133 a: 120 n: 166 gcd 12 g: 3 h: -23
133 a: 120 n: 166 gcd 4 g: 13 h: 11
133 a: 120 n: 166 gcd 4 g: 23 h: 1
133 a: 143 n: 97 gcd 12 g: 3 h: 23
133 a: 143 n: 97 gcd 1 g: 5 h: 6
133 a: 143 n: 97 gcd 3 g: 18 h: -5
133 a: 143 n: 97 gcd 4 g: 23 h: -1
133 a: 153 n: 23 gcd 12 g: 39 h: -5
133 a: 153 n: 23 gcd 1 g: 11 h: -2
133 a: 153 n: 23 gcd 3 g: 6 h: 11
133 a: 153 n: 23 gcd 4 g: 5 h: 13
133 a: 23 n: 263 gcd 12 g: 33 h: 13
133 a: 23 n: 263 gcd 1 g: 5 h: -6
133 a: 23 n: 263 gcd 3 g: 18 h: 5
133 a: 23 n: 263 gcd 4 g: 13 h: -11
133 a: 65 n: 241 gcd 12 g: 27 h: -17
133 a: 65 n: 241 gcd 1 g: 11 h: 2
133 a: 65 n: 241 gcd 3 g: 6 h: -11
133 a: 65 n: 241 gcd 4 g: 17 h: 9
133 a: 88 n: 218 gcd 12 g: 27 h: 17
133 a: 88 n: 218 gcd 12 g: 39 h: 5
133 a: 88 n: 218 gcd 4 g: 17 h: -9
133 a: 88 n: 218 gcd 4 g: 5 h: -13
m a n g h
Worked out how to make two recipes and ignore gcd after calculations. The first recipe is in the earl;ier answer, take $\gcd(g,h) = 1,$ then $g,h$ not both odd, then $g$ not divisible by $3.$
The other recipe is $\gcd(u,v)=1,$ then $u+v$ not divisible by $3,$ recipes $$ n = -u^2 -2uv +2v^2, $$ $$ a = -u^2 +2uv , $$ $$ n = u^2 -uv +v^2. $$
Put them together, we always get $\gcd(n,a,m) = 1,$ and up to $13 \cdot 19 = 247,$
m a n
1 a: 0 n: 2 gcd 1 u: 0 v: 1
1 a: 0 n: 2 gcd 1 u: 0 v: -1
1 a: 1 n: 1 gcd 1 g: 1 h: 0
1 a: 1 n: 1 gcd 1 u: 1 v: 0
1 a: 1 n: 1 gcd 1 u: 1 v: 1
7 a: 3 n: 13 gcd 1 g: 2 h: 1
7 a: 3 n: 13 gcd 1 u: 3 v: 1
7 a: 3 n: 13 gcd 1 u: 3 v: 2
7 a: 5 n: 11 gcd 1 g: 2 h: -1
7 a: 5 n: 11 gcd 1 u: 1 v: -2
7 a: 5 n: 11 gcd 1 u: 1 v: 3
7 a: 8 n: 2 gcd 1 u: 2 v: -1
7 a: 8 n: 2 gcd 1 u: 2 v: 3
13 a: 15 n: 1 gcd 1 g: 1 h: 2
13 a: 15 n: 1 gcd 1 u: 3 v: -1
13 a: 15 n: 1 gcd 1 u: 3 v: 4
13 a: 7 n: 23 gcd 1 g: 1 h: -2
13 a: 7 n: 23 gcd 1 u: 1 v: -3
13 a: 7 n: 23 gcd 1 u: 1 v: 4
13 a: 8 n: 22 gcd 1 u: 4 v: 1
13 a: 8 n: 22 gcd 1 u: 4 v: 3
19 a: 16 n: 26 gcd 1 u: 2 v: -3
19 a: 16 n: 26 gcd 1 u: 2 v: 5
19 a: 21 n: 11 gcd 1 g: 4 h: -1
19 a: 21 n: 11 gcd 1 u: 3 v: -2
19 a: 21 n: 11 gcd 1 u: 3 v: 5
19 a: 5 n: 37 gcd 1 g: 4 h: 1
19 a: 5 n: 37 gcd 1 u: 5 v: 2
19 a: 5 n: 37 gcd 1 u: 5 v: 3
31 a: 11 n: 59 gcd 1 g: 2 h: -3
31 a: 11 n: 59 gcd 1 u: 1 v: -5
31 a: 11 n: 59 gcd 1 u: 1 v: 6
31 a: 24 n: 46 gcd 1 u: 6 v: 1
31 a: 24 n: 46 gcd 1 u: 6 v: 5
31 a: 35 n: 13 gcd 1 g: 2 h: 3
31 a: 35 n: 13 gcd 1 u: 5 v: -1
31 a: 35 n: 13 gcd 1 u: 5 v: 6
37 a: 33 n: 47 gcd 1 g: 5 h: -2
37 a: 33 n: 47 gcd 1 u: 3 v: -4
37 a: 33 n: 47 gcd 1 u: 3 v: 7
37 a: 40 n: 26 gcd 1 u: 4 v: -3
37 a: 40 n: 26 gcd 1 u: 4 v: 7
37 a: 7 n: 73 gcd 1 g: 5 h: 2
37 a: 7 n: 73 gcd 1 u: 7 v: 3
37 a: 7 n: 73 gcd 1 u: 7 v: 4
43 a: 13 n: 83 gcd 1 g: 4 h: -3
43 a: 13 n: 83 gcd 1 u: 1 v: -6
43 a: 13 n: 83 gcd 1 u: 1 v: 7
43 a: 35 n: 61 gcd 1 g: 4 h: 3
43 a: 35 n: 61 gcd 1 u: 7 v: 1
43 a: 35 n: 61 gcd 1 u: 7 v: 6
43 a: 48 n: 22 gcd 1 u: 6 v: -1
43 a: 48 n: 22 gcd 1 u: 6 v: 7
49 a: 16 n: 94 gcd 1 u: 8 v: 3
49 a: 16 n: 94 gcd 1 u: 8 v: 5
49 a: 39 n: 71 gcd 1 g: 1 h: -4
49 a: 39 n: 71 gcd 1 u: 3 v: -5
49 a: 39 n: 71 gcd 1 u: 3 v: 8
49 a: 55 n: 23 gcd 1 g: 1 h: 4
49 a: 55 n: 23 gcd 1 u: 5 v: -3
49 a: 55 n: 23 gcd 1 u: 5 v: 8
61 a: 56 n: 74 gcd 1 u: 4 v: -5
61 a: 56 n: 74 gcd 1 u: 4 v: 9
61 a: 65 n: 47 gcd 1 g: 7 h: -2
61 a: 65 n: 47 gcd 1 u: 5 v: -4
61 a: 65 n: 47 gcd 1 u: 5 v: 9
61 a: 9 n: 121 gcd 1 g: 7 h: 2
61 a: 9 n: 121 gcd 1 u: 9 v: 4
61 a: 9 n: 121 gcd 1 u: 9 v: 5
67 a: 32 n: 122 gcd 1 u: 2 v: -7
67 a: 32 n: 122 gcd 1 u: 2 v: 9
67 a: 45 n: 109 gcd 1 g: 8 h: 1
67 a: 45 n: 109 gcd 1 u: 9 v: 2
67 a: 45 n: 109 gcd 1 u: 9 v: 7
67 a: 77 n: 13 gcd 1 g: 8 h: -1
67 a: 77 n: 13 gcd 1 u: 7 v: -2
67 a: 77 n: 13 gcd 1 u: 7 v: 9
73 a: 17 n: 143 gcd 1 g: 5 h: -4
73 a: 17 n: 143 gcd 1 u: 1 v: -8
73 a: 17 n: 143 gcd 1 u: 1 v: 9
73 a: 63 n: 97 gcd 1 g: 5 h: 4
73 a: 63 n: 97 gcd 1 u: 9 v: 1
73 a: 63 n: 97 gcd 1 u: 9 v: 8
73 a: 80 n: 46 gcd 1 u: 8 v: -1
73 a: 80 n: 46 gcd 1 u: 8 v: 9
79 a: 40 n: 142 gcd 1 u: 10 v: 3
79 a: 40 n: 142 gcd 1 u: 10 v: 7
79 a: 51 n: 131 gcd 1 g: 2 h: -5
79 a: 51 n: 131 gcd 1 u: 3 v: 10
79 a: 51 n: 131 gcd 1 u: 3 v: -7
79 a: 91 n: 11 gcd 1 g: 2 h: 5
79 a: 91 n: 11 gcd 1 u: 7 v: 10
79 a: 91 n: 11 gcd 1 u: 7 v: -3
91 a: 11 n: 181 gcd 1 g: 8 h: 3
91 a: 11 n: 181 gcd 1 u: 11 v: 5
91 a: 11 n: 181 gcd 1 u: 11 v: 6
91 a: 19 n: 179 gcd 1 g: 4 h: -5
91 a: 19 n: 179 gcd 1 u: 1 v: 10
91 a: 19 n: 179 gcd 1 u: 1 v: -9
91 a: 80 n: 118 gcd 1 u: 10 v: 1
91 a: 80 n: 118 gcd 1 u: 10 v: 9
91 a: 85 n: 107 gcd 1 g: 8 h: -3
91 a: 85 n: 107 gcd 1 u: 5 v: 11
91 a: 85 n: 107 gcd 1 u: 5 v: -6
91 a: 96 n: 74 gcd 1 u: 6 v: 11
91 a: 96 n: 74 gcd 1 u: 6 v: -5
91 a: 99 n: 61 gcd 1 g: 4 h: 5
91 a: 99 n: 61 gcd 1 u: 9 v: -1
91 a: 99 n: 61 gcd 1 u: 9 v: 10
97 a: 112 n: 2 gcd 1 u: 8 v: 11
97 a: 112 n: 2 gcd 1 u: 8 v: -3
97 a: 55 n: 169 gcd 1 g: 7 h: 4
97 a: 55 n: 169 gcd 1 u: 11 v: 3
97 a: 55 n: 169 gcd 1 u: 11 v: 8
97 a: 57 n: 167 gcd 1 g: 7 h: -4
97 a: 57 n: 167 gcd 1 u: 3 v: 11
97 a: 57 n: 167 gcd 1 u: 3 v: -8
103 a: 117 n: 37 gcd 1 g: 10 h: -1
103 a: 117 n: 37 gcd 1 u: 9 v: 11
103 a: 117 n: 37 gcd 1 u: 9 v: -2
103 a: 40 n: 194 gcd 1 u: 2 v: 11
103 a: 40 n: 194 gcd 1 u: 2 v: -9
103 a: 77 n: 157 gcd 1 g: 10 h: 1
103 a: 77 n: 157 gcd 1 u: 11 v: 2
103 a: 77 n: 157 gcd 1 u: 11 v: 9
109 a: 119 n: 71 gcd 1 g: 1 h: 6
109 a: 119 n: 71 gcd 1 u: 7 v: 12
109 a: 119 n: 71 gcd 1 u: 7 v: -5
109 a: 24 n: 214 gcd 1 u: 12 v: 5
109 a: 24 n: 214 gcd 1 u: 12 v: 7
109 a: 95 n: 143 gcd 1 g: 1 h: -6
109 a: 95 n: 143 gcd 1 u: 5 v: 12
109 a: 95 n: 143 gcd 1 u: 5 v: -7
127 a: 120 n: 146 gcd 1 u: 6 v: 13
127 a: 120 n: 146 gcd 1 u: 6 v: -7
127 a: 133 n: 107 gcd 1 g: 10 h: -3
127 a: 133 n: 107 gcd 1 u: 7 v: 13
127 a: 133 n: 107 gcd 1 u: 7 v: -6
127 a: 13 n: 253 gcd 1 g: 10 h: 3
127 a: 13 n: 253 gcd 1 u: 13 v: 6
127 a: 13 n: 253 gcd 1 u: 13 v: 7
133 a: 120 n: 166 gcd 1 u: 12 v: 1
133 a: 120 n: 166 gcd 1 u: 12 v: 11
133 a: 143 n: 97 gcd 1 g: 5 h: 6
133 a: 143 n: 97 gcd 1 u: 11 v: -1
133 a: 143 n: 97 gcd 1 u: 11 v: 12
133 a: 153 n: 23 gcd 1 g: 11 h: -2
133 a: 153 n: 23 gcd 1 u: 9 v: 13
133 a: 153 n: 23 gcd 1 u: 9 v: -4
133 a: 23 n: 263 gcd 1 g: 5 h: -6
133 a: 23 n: 263 gcd 1 u: 1 v: -11
133 a: 23 n: 263 gcd 1 u: 1 v: 12
133 a: 65 n: 241 gcd 1 g: 11 h: 2
133 a: 65 n: 241 gcd 1 u: 13 v: 4
133 a: 65 n: 241 gcd 1 u: 13 v: 9
133 a: 88 n: 218 gcd 1 u: 4 v: 13
133 a: 88 n: 218 gcd 1 u: 4 v: -9
139 a: 160 n: 22 gcd 1 u: 10 v: 13
139 a: 160 n: 22 gcd 1 u: 10 v: -3
139 a: 69 n: 251 gcd 1 g: 8 h: -5
139 a: 69 n: 251 gcd 1 u: 3 v: -10
139 a: 69 n: 251 gcd 1 u: 3 v: 13
139 a: 91 n: 229 gcd 1 g: 8 h: 5
139 a: 91 n: 229 gcd 1 u: 13 v: 10
139 a: 91 n: 229 gcd 1 u: 13 v: 3
151 a: 115 n: 227 gcd 1 g: 2 h: -7
151 a: 115 n: 227 gcd 1 u: 5 v: 14
151 a: 115 n: 227 gcd 1 u: 5 v: -9
151 a: 171 n: 59 gcd 1 g: 2 h: 7
151 a: 171 n: 59 gcd 1 u: 9 v: 14
151 a: 171 n: 59 gcd 1 u: 9 v: -5
151 a: 56 n: 286 gcd 1 u: 14 v: 5
151 a: 56 n: 286 gcd 1 u: 14 v: 9
157 a: 143 n: 193 gcd 1 g: 7 h: 6
157 a: 143 n: 193 gcd 1 u: 13 v: 1
157 a: 143 n: 193 gcd 1 u: 13 v: 12
157 a: 168 n: 118 gcd 1 u: 12 v: -1
157 a: 168 n: 118 gcd 1 u: 12 v: 13
157 a: 25 n: 311 gcd 1 g: 7 h: -6
157 a: 25 n: 311 gcd 1 u: 1 v: -12
157 a: 25 n: 311 gcd 1 u: 1 v: 13
163 a: 112 n: 262 gcd 1 u: 14 v: 11
163 a: 112 n: 262 gcd 1 u: 14 v: 3
163 a: 187 n: 37 gcd 1 g: 4 h: 7
163 a: 187 n: 37 gcd 1 u: 11 v: 14
163 a: 187 n: 37 gcd 1 u: 11 v: -3
163 a: 75 n: 299 gcd 1 g: 4 h: -7
163 a: 75 n: 299 gcd 1 u: 3 v: -11
163 a: 75 n: 299 gcd 1 u: 3 v: 14
169 a: 15 n: 337 gcd 1 g: 11 h: 4
169 a: 15 n: 337 gcd 1 u: 15 v: 7
169 a: 15 n: 337 gcd 1 u: 15 v: 8
169 a: 161 n: 191 gcd 1 g: 11 h: -4
169 a: 161 n: 191 gcd 1 u: 7 v: 15
169 a: 161 n: 191 gcd 1 u: 7 v: -8
169 a: 176 n: 146 gcd 1 u: 8 v: 15
169 a: 176 n: 146 gcd 1 u: 8 v: -7
181 a: 104 n: 314 gcd 1 u: 4 v: -11
181 a: 104 n: 314 gcd 1 u: 4 v: 15
181 a: 105 n: 313 gcd 1 g: 13 h: 2
181 a: 105 n: 313 gcd 1 u: 15 v: 11
181 a: 105 n: 313 gcd 1 u: 15 v: 4
181 a: 209 n: 1 gcd 1 g: 13 h: -2
181 a: 209 n: 1 gcd 1 u: 11 v: 15
181 a: 209 n: 1 gcd 1 u: 11 v: -4
193 a: 175 n: 239 gcd 1 g: 1 h: -8
193 a: 175 n: 239 gcd 1 u: 7 v: 16
193 a: 175 n: 239 gcd 1 u: 7 v: -9
193 a: 207 n: 143 gcd 1 g: 1 h: 8
193 a: 207 n: 143 gcd 1 u: 9 v: 16
193 a: 207 n: 143 gcd 1 u: 9 v: -7
193 a: 32 n: 382 gcd 1 u: 16 v: 7
193 a: 32 n: 382 gcd 1 u: 16 v: 9
199 a: 165 n: 277 gcd 1 g: 14 h: 1
199 a: 165 n: 277 gcd 1 u: 15 v: 13
199 a: 165 n: 277 gcd 1 u: 15 v: 2
199 a: 221 n: 109 gcd 1 g: 14 h: -1
199 a: 221 n: 109 gcd 1 u: 13 v: 15
199 a: 221 n: 109 gcd 1 u: 13 v: -2
199 a: 56 n: 386 gcd 1 u: 2 v: -13
199 a: 56 n: 386 gcd 1 u: 2 v: 15
211 a: 195 n: 253 gcd 1 g: 8 h: 7
211 a: 195 n: 253 gcd 1 u: 15 v: 1
211 a: 195 n: 253 gcd 1 u: 15 v: 14
211 a: 224 n: 166 gcd 1 u: 14 v: -1
211 a: 224 n: 166 gcd 1 u: 14 v: 15
211 a: 29 n: 419 gcd 1 g: 8 h: -7
211 a: 29 n: 419 gcd 1 u: 1 v: -14
211 a: 29 n: 419 gcd 1 u: 1 v: 15
217 a: 160 n: 334 gcd 1 u: 16 v: 13
217 a: 160 n: 334 gcd 1 u: 16 v: 3
217 a: 17 n: 433 gcd 1 g: 13 h: 4
217 a: 17 n: 433 gcd 1 u: 17 v: 8
217 a: 17 n: 433 gcd 1 u: 17 v: 9
217 a: 208 n: 242 gcd 1 u: 8 v: 17
217 a: 208 n: 242 gcd 1 u: 8 v: -9
217 a: 225 n: 191 gcd 1 g: 13 h: -4
217 a: 225 n: 191 gcd 1 u: 9 v: 17
217 a: 225 n: 191 gcd 1 u: 9 v: -8
217 a: 247 n: 73 gcd 1 g: 5 h: 8
217 a: 247 n: 73 gcd 1 u: 13 v: 16
217 a: 247 n: 73 gcd 1 u: 13 v: -3
217 a: 87 n: 407 gcd 1 g: 5 h: -8
217 a: 87 n: 407 gcd 1 u: 3 v: -13
217 a: 87 n: 407 gcd 1 u: 3 v: 16
223 a: 168 n: 338 gcd 1 u: 6 v: -11
223 a: 168 n: 338 gcd 1 u: 6 v: 17
223 a: 253 n: 83 gcd 1 g: 14 h: -3
223 a: 253 n: 83 gcd 1 u: 11 v: 17
223 a: 253 n: 83 gcd 1 u: 11 v: -6
223 a: 85 n: 421 gcd 1 g: 14 h: 3
223 a: 85 n: 421 gcd 1 u: 17 v: 11
223 a: 85 n: 421 gcd 1 u: 17 v: 6
229 a: 119 n: 409 gcd 1 g: 11 h: 6
229 a: 119 n: 409 gcd 1 u: 17 v: 12
229 a: 119 n: 409 gcd 1 u: 17 v: 5
229 a: 145 n: 383 gcd 1 g: 11 h: -6
229 a: 145 n: 383 gcd 1 u: 5 v: -12
229 a: 145 n: 383 gcd 1 u: 5 v: 17
229 a: 264 n: 26 gcd 1 u: 12 v: 17
229 a: 264 n: 26 gcd 1 u: 12 v: -5
241 a: 224 n: 286 gcd 1 u: 16 v: 1
241 a: 224 n: 286 gcd 1 u: 16 v: 15
241 a: 255 n: 193 gcd 1 g: 7 h: 8
241 a: 255 n: 193 gcd 1 u: 15 v: -1
241 a: 255 n: 193 gcd 1 u: 15 v: 16
241 a: 31 n: 479 gcd 1 g: 7 h: -8
241 a: 31 n: 479 gcd 1 u: 1 v: -15
241 a: 31 n: 479 gcd 1 u: 1 v: 16
247 a: 187 n: 373 gcd 1 g: 10 h: 7
247 a: 187 n: 373 gcd 1 u: 17 v: 14
247 a: 187 n: 373 gcd 1 u: 17 v: 3
247 a: 203 n: 347 gcd 1 g: 2 h: -9
247 a: 203 n: 347 gcd 1 u: 7 v: -11
247 a: 203 n: 347 gcd 1 u: 7 v: 18
247 a: 275 n: 131 gcd 1 g: 2 h: 9
247 a: 275 n: 131 gcd 1 u: 11 v: 18
247 a: 275 n: 131 gcd 1 u: 11 v: -7
247 a: 280 n: 94 gcd 1 u: 14 v: 17
247 a: 280 n: 94 gcd 1 u: 14 v: -3
247 a: 72 n: 478 gcd 1 u: 18 v: 11
247 a: 72 n: 478 gcd 1 u: 18 v: 7
247 a: 93 n: 467 gcd 1 g: 10 h: -7
247 a: 93 n: 467 gcd 1 u: 3 v: -14
247 a: 93 n: 467 gcd 1 u: 3 v: 17
m a n